Exercice 1 – Le cuivre

1) Dessin de la maille en perspective cavalière

Étapes de construction :

• Tracer un carré : c’est la face avant du cube.
• Tracer un second carré identique, décalé vers la droite et vers le haut : c’est la face arrière.
• Relier les sommets correspondants des deux carrés : on obtient le cube en perspective cavalière.

Placement des atomes :

• Placer un atome (petit cercle) à chacun des 8 sommets du cube.
• Placer un atome au centre de chacune des 6 faces du cube.
• Sur le dessin, on représente aussi les atomes des faces arrière : on peut les dessiner en pointillés ou avec une couleur plus claire pour bien indiquer qu’ils sont derrière.

Dans une structure cubique à faces centrées, tous les atomes (ceux de l’avant et ceux de l’arrière) doivent être représentés sur le schéma de la maille.

2) Nombre d’atomes de cuivre par maille (multiplicité Z)

On utilise la multiplicité $Z$, c’est-à-dire le nombre d’atomes effectifs contenus dans une maille.

Atomes situés aux sommets :

• Il y a 8 sommets.
• Chaque sommet est commun à 8 mailles voisines.
• Contribution d’un atome de sommet à une maille : $\frac{1}{8}$ d’atome.
• Contribution totale des sommets : $Z\left(\text{sommet}\right)=8\times \frac{1}{8}=1$ atome.

Atomes situés au centre des faces :

• Il y a 6 faces.
• Chaque atome au centre d’une face est partagé entre 2 mailles.
• Contribution d’un atome de face : $\frac{1}{2}$ d’atome.
• Contribution totale des faces : $Z\left(\text{face}\right)=6\times \frac{1}{2}=3$ atomes.

Multiplicité totale : $Z_{\text{Cu}}=Z\left(\text{sommet}\right)+Z\left(\text{face}\right)=1+3=4$

On obtient donc : il y a $Z_{\text{Cu}}=4$ atomes de cuivre par maille.

3) Masse volumique du cuivre

a) Volume de la maille

La maille est un cube de côté $a$. Son volume est :

$V_{\text{maille}}=a^3$

Avec $a=361\times {10}^{-12}m$, on peut garder l’expression littérale pour la suite du calcul.

b) Masse de la maille

Il y a $Z_{\text{Cu}}=4$ atomes de cuivre dans une maille.

$m_{\text{maille}}=Z_{\text{Cu}}\times m_{\text{Cu}}=4\times \mathrm{1,05}\times {10}^{-25}\mathrm{kg}=\mathrm{4,20}\times {10}^{-25}\mathrm{kg}$

c) Masse volumique

La masse volumique est définie par :

$\rho =\frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}}$

En remplaçant :

$\rho =\frac{\mathrm{4,20}}{\times }\mathrm{kg}.m^{-3}$

Numériquement, on obtient environ : $\rho \approx \mathrm{8,9}\times {10}^3\mathrm{kg}.m^{-3}$ soit environ 8,9 g·cm⁻³.

4) Compacité de la maille de cuivre

Définition : la compacité est la part du volume de la maille réellement occupée par les atomes (modélisés par des sphères dures) :

$C=\frac{\text{volume occupé par les atomes de la maille}}{V_{\text{maille}}}$

Expression numérique utilisée :

Dans une maille de cuivre : $Z_{\text{Cu}}=4$ atomes.
Chaque atome est une sphère de rayon $R$ :

$V_{\text{atome}}=\frac{4}{3}\pi R^3$

Le volume total occupé par les atomes dans la maille est donc :

$V_{\text{atomes}}=Z_{\text{Cu}}\times \frac{4}{3}\pi R^3$

Le volume de la maille est :

$V_{\text{maille}}=a^3$

Formule de la compacité utilisée :

$C=\frac{Z_{\text{Cu}}\times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}$

Calcul numérique :

On remplace par les valeurs : $Z_{\text{Cu}}=4, R=128\times {10}^{-12}m, a=361\times {10}^{-12}m$.

$C=\frac{4\times \frac{4}{3}\pi {128\times {10}^{-12}}^3}{{361\times {10}^{-12}}^3}$

Après calcul numérique (à la calculatrice), on obtient :

$C\approx \mathrm{0,75}$

La compacité de la maille de cuivre est donc d’environ 0,75, soit 75 % du volume de la maille occupé par les atomes.

Exercice 2 – La galène PbS

1) Type de réseau et position des ions

La galène ${\mathrm{PbS}}_{}$ a une structure de type chlorure de sodium.

• Les ions $S^{-2}$ forment un réseau cubique à faces centrées :
• un ion $S^{-2}$ à chaque sommet du cube ;
• un ion $S^{-2}$ au centre de chaque face du cube.
• Les ions ${\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}$ occupent tous les sites octaédriques :
• un ion ${\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}$ au centre du cube ;
• un ion ${\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}$ au centre de chaque arête.

Sur le schéma de la maille, on doit représenter tous les ions, y compris ceux qui se trouvent à l’arrière, par exemple en pointillés.

2-1) Multiplicité Z des ions négatifs et positifs

a) Ions sulfure $S^{-2}$

• Huit sommets, chaque sommet partagé par huit mailles :

$Z\left(S^{-2}\text{aux sommets}\right)=8\times \frac{1}{8}=1$

• Six centres de faces, chaque centre de face partagé par deux mailles :

$Z\left(S^{-2}\text{aux faces}\right)=6\times \frac{1}{2}=3$

Multiplicité des ions sulfure : $Z_{\text{S}}=1+3=4$

b) Ions plomb ${\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}$

• Centres des arêtes : 12 arêtes, chaque centre d’arête partagé par 4 mailles.

$Z\left({\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}\text{sur les arêtes}\right)=12\times \frac{1}{4}=3$

• Centre du cube : un seul, entièrement dans la maille.

$Z\left({\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}\text{au centre du cube}\right)=1$

Multiplicité des ions plomb : $Z_{\text{Pb}}=3+1=4$

2-2) Neutralité électrique du cristal

Dans une maille :

• $Z_{\text{Pb}}=4$ ions ${\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}$ de charge $+2e$.
• $Z_{\text{S}}=4$ ions $S^{-2}$ de charge $-2e$.

$\text{Charge totale positive}=4\times +2e=+8e$

$\text{Charge totale négative}=4\times -2e=-8e$

$\text{Charge totale de la maille}=+8e+-8e=0$

Le cristal est donc électriquement neutre.

3) Paramètre de maille en supposant les ions tangents

Sur une arête du cube, on a la succession : $S^{-2}$ – ${\mathrm{Pb}}^{\mathrm{2+}}$ – $S^{-2}$.

La longueur de l’arête est donc :

$a=2(R_{\text{S}}+R_{\text{Pb}})$

Avec $R_{\text{S}}=120\mathrm{pm},\; R_{\text{Pb}}=180\mathrm{pm}$ :

$a=2(120+180)\mathrm{pm}=2\times 300\mathrm{pm}=600\mathrm{pm}$

En unités du Système international :

$a=600\times {10}^{-12}m=\mathrm{6,00}\times {10}^{-10}m$

4) Masse d’un atome de plomb et d’un atome de soufre

Pour une espèce chimique quelconque :

$m=\frac{M}{N_{\text{A}}}$

a) Atome de plomb

Masse molaire : $M_{\text{Pb}}=207g.{\mathrm{mol}}^{-1}=\mathrm{0,207}\mathrm{kg}.{\mathrm{mol}}^{-1}$

$m_{\text{Pb}}=\frac{\mathrm{0,207}}{\mathrm{6,02}\times {10}^{23}}\mathrm{kg}\approx \mathrm{3,4}\times {10}^{-25}\mathrm{kg}$

b) Atome de soufre

Masse molaire : $M_{\text{S}}=32g.{\mathrm{mol}}^{-1}=\mathrm{0,032}\mathrm{kg}.{\mathrm{mol}}^{-1}$

$m_{\text{S}}=\frac{\mathrm{0,032}}{\mathrm{6,02}\times {10}^{23}}\mathrm{kg}\approx \mathrm{5,3}\times {10}^{-26}\mathrm{kg}$

5) Masse volumique de la galène

a) Masse de la maille

Dans une maille, il y a : $Z_{\text{Pb}}=4$ ions plomb et $Z_{\text{S}}=4$ ions soufre.

$m_{\text{maille}}=Z_{\text{Pb}}\times m_{\text{Pb}}+Z_{\text{S}}\times m_{\text{S}}$

On peut factoriser :

$m_{\text{maille}}=4(m_{\text{Pb}}+m_{\text{S}})$

Numériquement, on trouve environ : $m_{\text{maille}}\approx \mathrm{1,6}\times {10}^{-24}\mathrm{kg}$ (valeur approchée).

b) Volume de la maille

La maille est cubique, donc :

$V_{\text{maille}}=a^3$

Avec $a=\mathrm{6,00}\times {10}^{-10}m$ :

$V_{\text{maille}}={\mathrm{6,00}\times {10}^{-10}}^3\approx \mathrm{2,16}\times {10}^{-28}m³$

c) Masse volumique du cristal

Définition :

$\rho =\frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}}$

$\rho \approx \frac{\mathrm{1,6}}{\times }\mathrm{kg}.m^{-3}\approx \mathrm{7,4}\times {10}^3\mathrm{kg}.m^{-3}$

soit environ 7,4 g·cm⁻³.