Mesures & incertitudes — Fiche structurée
Objectif : savoir écrire correctement un résultat de mesure avec son incertitude, et calculer les incertitudes de type A (mesures répétées) et type B (une seule mesure).
1) Objectifs
- Écrire un résultat sous la forme valeur ± incertitude, avec unité et mise en forme correcte.
- Calculer les incertitudes de type A (mesures répétées) et type B (instrument/lecture).
- Rappels supposés acquis (2nde) : chiffres significatifs, écriture scientifique, moyenne/écart-type (quelques rappels donnés ci-dessous).
2) « Vraie valeur » et intervalle de confiance (idée)
Répéter une mesure produit une dispersion autour d’une valeur centrale (souvent modélisée par une loi normale).
- \(\pm 1\sigma\) : \(\approx 68\,\%\)
- \(\pm 2\sigma\) : \(\approx 95\,\%\)
- \(\pm 3\sigma\) : \(> 99\,\%\)
Plus l’intervalle est large, plus la probabilité de contenir la vraie valeur augmente, mais la précision diminue.
3) Comment écrire un résultat de mesure
Forme générale : \[
M = \text{valeur mesurée} \;\pm\; u~[\text{unité}]
\]
- Alignement des rangs : le dernier chiffre significatif de la valeur doit être au même rang que celui de l’incertitude.
- Chiffres significatifs de l’incertitude : garder 1 chiffre significatif et arrondir à l’excès.
- Unité : ne pas l’oublier (sauf grandeur adimensionnée).
Exemples rapides
Durée : \(t = 1321{,}2~\text{s}\), \(u = 2~\text{s}\)
Écriture : \(\;t = 1321 \pm 2~\text{s}\).
Masse : \(m = 3{,}25~\text{kg}\), \(u = 0{,}34~\text{kg}\)
Incertitude à 1 chiffre : \(0{,}34 \to 0{,}4\).
Valeur au même rang (dixième) : \(3{,}25 \to 3{,}3\).
Résultat : \(\;m = 3{,}3 \pm 0{,}4~\text{kg}\).
4) Incertitude de type A (mesures répétées)
On mesure \(N\) fois la même grandeur dans les mêmes conditions.
Moyenne : \(\displaystyle \bar{m} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} m_i\)
Écart-type (échantillon) : \(\displaystyle \sigma_{N-1} = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(m_i-\bar{m})^2}\)
Incertitude type de la moyenne : \(\displaystyle u_A = \frac{\sigma_{N-1}}{\sqrt{N}}\)
Mise en forme : garder 1 chiffre significatif pour \(u_A\), aligner \(\bar{m}\) au même rang, ajouter l’unité.
Exemple (idée)
\(\bar{m}=3{,}18~\text{cm}\), \(\sigma_{N-1}\approx 0{,}13~\text{cm}\), \(N=10\).
\(\displaystyle u_A=\frac{0{,}13}{\sqrt{10}}\approx 0{,}041~\text{cm}\;\to\;0{,}04~\text{cm}\) (1 chiffre, à l’excès).
Résultat : \(\;L=3{,}18 \pm 0{,}04~\text{cm}\) (≈ 68 %).
5) Incertitude de type B (une seule mesure)
Évaluée à partir de la qualité de l’instrument (résolution, tolérance, précision %) et/ou de la lecture.
5.1 Liée à l’instrument
- Résolution \(a\), loi uniforme : \(\displaystyle u_B=\frac{a}{\sqrt{12}}\)
- Tolérance \(\pm \Delta\) (loi uniforme sur \([-\Delta, +\Delta]\)) : \(\displaystyle u_B=\frac{\Delta}{\sqrt{3}}\)
- Précision en % sur la lecture \(M\) : \(\displaystyle u_B \approx \frac{p}{100}\,M\) (puis mise en forme).
5.2 Liée à la lecture
- Lecture simple sur graduation.
- Double lecture (début/fin) sur graduation.
- Valeurs extrêmes constatées.
On applique le modèle choisi, puis on garde 1 chiffre significatif pour \(u\) et on aligne la valeur.
6) Exemples guidés (type B)
Exemple 1 — Voltmètre (fabricant ne précise rien)
Lecture : \(E=1{,}320~\text{V}\). Résolution : \(a=0{,}01~\text{V}\).
\(\displaystyle u_B=\frac{a}{\sqrt{12}}=\frac{0{,}01}{\sqrt{12}}\approx 0{,}0029~\text{V}\;\to\;0{,}003~\text{V}\).
Écriture finale : \(\;E=1{,}320 \pm 0{,}003~\text{V}\) (rang des millièmes aligné).
Exemple 2 — Règle (double lecture)
Mesure : \(22~\text{cm} = 220~\text{mm}\). Une graduation : \(1~\text{mm}\).
Modèle uniforme double lecture : \(\displaystyle u_B \approx \frac{1~\text{mm}}{\sqrt{12}} \approx 0{,}29~\text{mm}\).
Mise en forme (classique demi-graduation : \(0{,}5~\text{mm}\)) : on retient \(u=0{,}5~\text{mm}\).
Écriture finale : \(\;L=220{,}0 \pm 0{,}5~\text{mm}\) (dixième de mm forcé pour l’alignement).
Exemple 3 — Chronomètre (précision %)
\(\Delta t=2{,}11~\text{s}\). Précision \(1\,\%\).
\(\displaystyle u_B \approx 0{,}01\times 2{,}11 = 0{,}0211~\text{s}\;\to\;0{,}03~\text{s}\).
Écriture finale : \(\;\Delta t = 2{,}11 \pm 0{,}03~\text{s}\).
7) Conseils pratiques
- Choisir le modèle (uniforme/gaussien, simple/double lecture, % fabricant, etc.) avant de calculer.
- Arrondir l’incertitude à 1 chiffre significatif et aligner la valeur au même rang.
- Documenter l’unité et, si pertinent, le niveau de confiance (68 % pour une incertitude type).
8) Modèle d’écriture à réutiliser
\(\displaystyle M = (\text{valeur mesurée}) \;\pm\; (u\ \text{à 1 chiffre})\;[\text{unité}]\)
Confiance : « L’intervalle \([M-u,\; M+u]\) contient la vraie valeur avec \(\sim 68\,\%\) de probabilité (incertitude type). »
